Bayes' sætning eller sandsynligheden for årsager

Bayes' sætning er en af ​​søjlerne i sandsynlighedsregning . Det er en teori fremsat af Thomas Bayes (1702-1761) i det 18. århundrede. Men hvad er formålet med denne berømte videnskabsmands forskning? Sandsynlighed udtrykker i en tilfældig proces forholdet mellem antallet af gunstige sager og antallet af mulige sager.

Der er udviklet mange sandsynlighedsteorier, der styrer vores eksistens i dag. Når vi går til lægen, ordinerer han det lægemiddel, der med størst sandsynlighed vil vise sig at være nyttigt i vores tilfælde, ligesom annoncører dedikerer deres kampagner til de mennesker, der er mest tilbøjelige til at købe det produkt, de vil promovere, eller turister og rejsende, der vælger den rute, hvor der sandsynligvis er mindst kø.

Loven om total sandsynlighed er blandt de mest berømte, derfor før vi taler om Bayes' sætning vi bliver nødt til at dedikere et par linjer til at forklare den første. For at prøve at forstå det, giv blot et eksempel .

Hvad er sandsynligheden (P) for, at en tilfældigt udvalgt person fra den erhvervsaktive befolkning her i landet er arbejdsløs ?

Ifølge sandsynlighedsteorien vil data udtrykkes som følger:

• Sandsynligheden for, at personen er kvinde: P (M)
• Sandsynligheden for, at personen er en mand: P (H)

Når vi ved, at 39% af befolkningen består af kvinder, udleder vi, at: P (M) = 039.

Det er derfor klart, at: P (H) = 1 – 039 = 061. Problemet i begyndelsen giver os også de betingede sandsynligheder:

• Sandsynlighed for, at en person er arbejdsløs ved at vide, at hun er en kvinde -> P (P | M) = 022
• Sandsynlighed for, at en person er arbejdsløs ved at vide, at han er mand – P (P | H) = 014

Ved hjælp af lov om total sandsynlighed vi vil have:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

De . Vi observerer, at resultatet er halvvejs mellem de to betingede sandsynligheder (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Lad os opdage Bayes' sætning

Antag nu, at en voksen bliver valgt tilfældigt til at udfylde en formular og observeres ikke at have noget arbejde. I dette tilfælde og under hensyntagen til det foregående eksempel, hvad er sandsynligheden for, at denne tilfældigt valgte person er en kvinde -P (M | P) -?

For at løse dette problem vil vi anvende Bayes' sætning som bruges til at beregne sandsynligheden for en hændelse ved at have information om den på forhånd . Vi kan beregne sandsynligheden for en begivenhed A velvidende, at den opfylder visse karakteristika (B).

I dette tilfælde taler vi om sandsynligheden for, at den person, der er valgt tilfældigt til at udfylde en formular, er en kvinde. Men det

Formlen for Bayes' sætning

Som enhver anden sætning har vi brug for en formel.

Det virker kompliceret, men alt har en forklaring. Lad os tænke i dele. Hvad betyder hvert bogstav?

B er begivenhedensom vi har foreløbige oplysninger om.
• L bogstavet A (n) refererer til de forskellige betingede begivenheder.
• I tællerdelen har vi betinget sandsynlighed . Dette refererer til sandsynligheden for, at noget (en begivenhed A) vil indtræffe, vel vidende at en anden begivenhed (B) også vil indtræffe. Det er defineret som P (A | B) og udtrykkes som: Sandsynligheden for A givet B .
• I nævneren har vi ækvivalenten til P (B) og samme forklaring som det foregående punkt følger.

Et eksempel

Vender tilbage til det forrige eksempel antag, at en voksen bliver valgt tilfældigt til at udfylde et spørgeskema, og det observeres, at han er det arbejdsløs . Hvad er chancerne for, at denne udvalgte person bliver kvinde?

Vi ved, at 39% af den aktive befolkning består af kvinder, mens resten er mænd . Vi ved også, at procentdelen af ​​arbejdsløse kvinder er 22 %, og at mændene er 14 %.

Endelig ved vi også, at sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt person er arbejdsløs, er 017. Hvis vi anvender formlen i Bayes' sætning, får vi resultatet, at der er en sandsynlighed på 05 for, at en tilfældigt udvalgt person blandt de ledige

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayes' sætning stammer fra sammensætningen af ​​de sammensatte og absolutte sandsynlighedssætninger, som vi forklarede i begyndelsen. Dens hovedtræk er, at den virker i alle fortolkninger af sandsynlighed.

Da det kan bruges til at beregne sandsynligheden for en årsag, der udløste hændelsen dens betydning ligger i den måde, den historisk har påvirket studiet af statistik . I dag kendes der faktisk to hovedskoler (den ene Frequentist og den anden Bayesiansk), som kontrasterer hinanden med udgangspunkt i den fortolkning, der er givet til denne teori.

Vi slutter med en nysgerrighed: vidste du, at elektronisk spam (det af Internet e-mail-annoncer) virker det takket være Bayes' teorem?